Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA

·        Para que serve?

·        Nomenclatura;

·        Juros Simples;

·         Juros Compostos.

SERVE PARA...

A Matemática Financeira trata, fundamentalmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Dentre outros, é possível:

·         Calcular rendimentos dos investimentos;

·         Calcular ‘juros sobre juros’;

·         Saber qual o valor total do financiamento;

·         Saber o valor de cada parcela do financiamento.

NOMENCLATURA;

C = Capital;Em uma transação financeira, é o dinheiro emprestado, investido ou devido inicialmente; também conhecido como Principal ou Valor Presente.

t ou n = Prazo: Tempo que decorre desde o início até ofinal de uma operação financeira.

J = Juros ouGanho: É o valor pago sobre o capital.

i = Taxa de Juros: indicada por i (interest), é expressa como porcentagem do capital. Expressa os juros em unidade de tempo, normalmente: ao dia (a.d.); ao mês (a.m.); ao ano (a.a.);

M = Montante: É o valor acumulado no período. M=C+J

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO

Se um capital for aplicado a uma certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (ou juros simples) e capitalização composta (ou juros compostos).

JUROS: 

Antes de inciarmos, assista ao vídeo da TVEscola. - Matemática em Toda Parte - Juros na Geladeira.

JUROS SIMPLES

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e são dados pelo produto do capital pela taxa. No cálculo dos juros de cada período, a taxa incide apenas sobre o capital inicial.

Exemplo 01: Um capital de R$5.000,00 é aplicado a juros simples durante 4 anos à taxa de 20% a.a. vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação.

J=C.i+C.i+C.i+...+C.i

Os juros gerados no 1º ano são: 5000 ^. (0,20) = 1000

Os juros gerados no 2º ano são: 5000 ^. (0,20) = 1000

Os juros gerados no 3º ano são: 5000 ^. (0,20) = 1000

Os juros gerados no 4º ano são: 5000 ^. (0,20) = 1000

J=5000.(0,20)+5000.(0,20)+5000.(0,20)+5000.(0,20)

J=1000+1000+100+1000

J=4000

J=C.i.t

Como algumas f´órmulas troca-se o t pelo n...

M=5000 ^.0,20 ^.4

J=4000

Montante após o período de aplicação:

M=C+JàM=5000+4000à M= 9000

M=C ^. (1+i ^.t)                                       Juros=M-C

M=5000 ^. (1+ 0,2 ^.4)                          i = (Juros/Capital)/Período

M=5000 ^.(1+0,8)                                Capital = (M)/(1+i.n)

M=5000 ^.1,8

M=9000

Exemplo 02: Uma aplicação a 5%a.m rendeu em 10 meses um montante de R$15000,00. Qual foi o Capital aplicado?

C = à C= à C= à C= èC=10.000

Exemplo 03: Uma empresa recebeu um empréstimo bancário no regime de capitalização simples de R$60.000,00 por 1 ano, pagando um montante de R$84.000,00. Vamos obter a taxa anual, semestral e mensal.

J=M-C

J=84000-60000

J=24000                                  J=C.i.t à i =

Taxa Anual:

i = à à à à0,4x100 = 40%

Taxa Semestral:Quantos semestres tem no ANO = 2!!

i = à à à à0,2x100 = 20%

Taxa Mensal: Quantos meses tem o ano = 12!!!

i = à à à à0,0333x100 = 3,33%

Exemplo 04: Uma pessoa pegou emprestada com seu amigo a quantia de R$100,00 e pagou R$150,00 com taxa de 10%a.m. (juros simples). Qual foi o prazo deste empréstimo?

M=150  C=100   i=10%a.m.J=50   t=??

Neste caso podemos fazer manualmente, um por um, encontrando o juro de cada período (no caso mês) e fazendo a soma com juro do período anterior.

J=C.i+C.i+C.i+...+C.i

Juro do 1° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 10

Juro do 2° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 20

Juro do 3° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 30

Juro do 4° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 40

Juro do 5° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 50

Assim, manualmente, encontramos o valor do Juro (R$50,00) no quinto mês, ou seja, t=5meses!

Podemos encontra o tempo (t) (de juros simples) com a ajuda da seguinte fórmula:

SE J=C.i.t temos que t= Juros dividido por C.i!

t= à t= à t= à t=5

O prazo deste empréstimo é de 5meses.

JUROS COMPOSTOS: O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (C+J) do período. Este novo montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante. Este processo de formação dos juros é diferente dos juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.

FORMULA DE JUROS COMPOSTOS:

No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente. Para melhor desenvolver este conceito e definir suas formulas de calculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. Assim temos no final dos períodos:

Final do 1°mês: Capital de 1000produz juros de 100 (10% de 1000) e um montante de 1100 (1000+100). Ou sja:

M=1000 x(1+0,10) à M=1100

Final do 2° mês: O montante do período anterior (1100) é o capital deste período, servindo de base para calculo dos juros desse período, assim temos:

M=1100 x (1+0,10)  =  1000 x(1+0,10) x (1+0,10)

M=1000 x (1+0,10)²    à M =1210

Final do 3° mês: O montante do período anterior (1210) é o capital deste período, servindo de base para calculo dos juros deste período, assim temos:

M=1210 x (1+0,10)  =  1000 x(1+0,10) x (1+0,10) x (1+0,10)

M=1000 x (1+0,10)³    à M =1331

Final do Enésimo mês: aplicando-se a evolução de juros compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:

M=1000x(1+0,1)x(1+0,1)x(1+0,1)... x(1+0,1)

Neste caso, M=1000x(1+0,1)^t

Generalizando-se TEMOS:

M=C(1+i)^t     C=

Juros (J): J=M-C

Como: M=C(1+i)^t, coloca-se o Capital em evidência temos:

J=C.[(1+i)^t -1]

Exemplo 01: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5%a.m.?

Solução:

M=?????

C=12000

t = 8 meses

i = 3,5%a.m.

M=C(1+i)^t à M=12000x(1+0,035)⁸

M=12000x1,316809 = R$ 15.801,71

EXEMPLO 02: Se uma pessoa deseja obter R$27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

M=27500

C=?????

i = 1,7% a.m.

t = 1ano = 12 meses.

C= à C= àC=

C= è C= 22.463,70

EXEMPLO 03:Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um quadrimestre.

M=43894,63

C=40000

i = xxxx a.m.

t = 1quadrimestre = 4 meses.

M=C(1+i)^t        à = (1+i)^t

= (1+i)⁴ à 1,097366 = (1+i)⁴

 =           à  =

1+i = 1,0235    à i= 1,0235 – 1          à i= 0,0235

Multiplicando por 100 (porcentagem)

i= 2,35%a.m

EXEMPLO 04: Uma aplicação de R$22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Log 1,208937=0,0824; Log 1,024 = 0,0103.

M= 26596,40

C=22000

i =2,4

t = ?????

M=C(1+i)^t       à = (1+i)^t

= (1+0,024)^t     à = (1,024)^t

1,208927 = (1,024)^t

Aplicando-se logaritmos tem-se:

Log 1,208927 = t x Log 1,024

t =   à t = è t = 8meses.

Lista de Atividades