Endereço do conteúdo:http://professorleomartins.blogspot.com.br/p/porcentagem.html
NÍVEL DE ENSINO PARA
O QUAL SE DESTINA
2° Ano do Ensino Médio
MOMENTO EM QUE SERÁ
UTILIZADO
O blog será
utilizado para que os alunos possam, em casa, tirar dúvidas a respeito do
conteúdo estudado em sala de aula. No blog
o aluno terá vídeos, atividades extras e o próprio conteúdo ministrado em sala
de aula.
OBJETIVOS DA AULA
Interagir com os alunos fora do ambiente escolar;
Fazer com que os alunos tenham a
percepção do melhor uso das tecnologias para seu aprendizado. A partir dessa
percepção fica mais fácil para todos, pois alguns alunos tem que amadurecer
mais a idéia de que os computadores não são apenas para comunicação.
É necessário desde já apresentar
as ferramentas para que os alunos se sintam mais a vontade no seu dia a dia.
MANEIRA COMO SERÁ
CONDUZIDO O CONTEÚDO
Todos alunos deverão acessar o
blog, ler o conteúdo, ver os vídeos e fazer as atividades. Depois, cada aluno
deverá deixar um comentário com suas dúvidas. Os próprios alunos podem
responder as dúvidas dos amigos ou fazer novos questionamentos. Deve-se
disponibilizar uma aula (1hora) para os alunos utilizarem o LIED.
A
Matemática Financeira trata, fundamentalmente, do estudo do valor do dinheiro
ao longo do tempo. Dentre outros, é possível:
·Calcular
rendimentos dos investimentos;
·Calcular
‘juros sobre juros’;
·Saber
qual o valor total do financiamento;
·Saber
o valor de cada parcela do financiamento.
NOMENCLATURA;
C = Capital;Em uma transação
financeira, é o dinheiro emprestado, investido ou devido inicialmente; também
conhecido como Principal ou Valor Presente.
t ou n = Prazo:
Tempo
que decorre desde o início até ofinal de uma operação financeira.
J = Juros ouGanho: É o valor pago sobre o capital.
i = Taxa de
Juros: indicada
por i (interest), é expressa como porcentagem do capital. Expressa os
juros em unidade de tempo, normalmente: ao dia (a.d.); ao mês (a.m.); ao ano
(a.a.);
M = Montante: É o valor
acumulado no período.
M=C+J
REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO
Se
um capital for aplicado a uma certa taxa por período, por vários intervalos ou
períodos de tempo, o valor pode ser calculado segundo duas convenções de
cálculo, chamadas de regimes de
capitalização: capitalização simples
(ou juros simples) e capitalização
composta (ou juros compostos).
JUROS:
Antes de inciarmos, assista ao vídeo da TVEscola. - Matemática em Toda Parte - Juros na Geladeira.
JUROS SIMPLES
De
acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e
são dados pelo produto do capital pela taxa. No cálculo dos juros de cada
período, a taxa incide apenas sobre o capital inicial.
Exemplo 01: Um capital de
R$5.000,00 é aplicado a juros simples durante 4 anos à taxa de 20% a.a. vamos
calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de
aplicação.
J=C.i+C.i+C.i+...+C.i
Os
juros gerados no 1º ano são: 5000 .
(0,20) = 1000
Os
juros gerados no 2º ano são: 5000 .
(0,20) = 1000
Os
juros gerados no 3º ano são: 5000 .
(0,20) = 1000
Os
juros gerados no 4º ano são: 5000 .
(0,20) = 1000
J=5000.(0,20)+5000.(0,20)+5000.(0,20)+5000.(0,20)
J=1000+1000+100+1000
J=4000
J=C.i.t
Como algumas f´órmulas troca-se o t pelo n...
M=5000 .0,20
.4
J=4000
Montante
após o período de aplicação:
M=C+JàM=5000+4000à M= 9000
M=C
. (1+i .t)Juros=M-C
M=5000
. (1+ 0,2 .4)i = (Juros/Capital)/Período
M=5000
.(1+0,8) Capital = (M)/(1+i.n)
M=5000
.1,8
M=9000
Exemplo 02: Uma aplicação a
5%a.m rendeu em 10 meses um montante de R$15000,00. Qual foi o Capital
aplicado?
C
= à C=à C=à C=èC=10.000
Exemplo 03: Uma empresa
recebeu um empréstimo bancário no regime de capitalização simples de
R$60.000,00 por 1 ano, pagando um montante de R$84.000,00. Vamos obter a taxa
anual, semestral e mensal.
J=M-C
J=84000-60000
J=24000J=C.i.t à i =
Taxa
Anual:
i
= àààà0,4x100 = 40%
Taxa
Semestral:Quantos semestres tem no ANO = 2!!
i
= àààà0,2x100 = 20%
Taxa
Mensal: Quantos meses tem o ano = 12!!!
i
= àààà0,0333x100 = 3,33%
Exemplo 04: Uma pessoa pegou emprestada com seu amigo a quantia de R$100,00 e pagou
R$150,00 com taxa de 10%a.m. (juros simples). Qual foi o prazo deste
empréstimo?
M=150C=100i=10%a.m.J=50t=??
Neste
caso podemos fazer manualmente, um por um, encontrando o juro de cada período
(no caso mês) e fazendo a soma com juro do período anterior.
J=C.i+C.i+C.i+...+C.i
Juro
do 1° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 10
Juro
do 2° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 20
Juro
do 3° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 30
Juro
do 4° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 40
Juro
do 5° mês: 100 x 0,10 = 10 àSoma = 50
Assim,
manualmente, encontramos o valor do Juro (R$50,00) no quinto mês, ou seja,
t=5meses!
Podemos
encontra o tempo (t) (de juros
simples) com a ajuda da seguinte fórmula:
SE
J=C.i.t temos que t= Juros dividido por C.i!
t=à t=à t=à t=5
O
prazo deste empréstimo é de 5meses.
JUROS COMPOSTOS: O regime de
juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos
ao capital formando o montante (C+J) do período. Este novo montante, por sua
vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante
(constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os
juros formados em períodos anteriores), e assim por diante. Este processo de
formação dos juros é diferente dos juros simples, onde unicamente o capital
rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos
anteriores.
FORMULA DE JUROS
COMPOSTOS:
No
regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre
juros periodicamente. Para melhor desenvolver este conceito e definir suas
formulas de calculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$1.000,00 a taxa
composta de 10% ao mês. Assim temos no final dos períodos:
Final
do 1°mês: Capital de 1000produz juros de 100 (10% de 1000) e um montante de
1100 (1000+100). Ou sja:
M=1000
x(1+0,10) à M=1100
Final
do 2° mês: O montante do período anterior (1100) é o capital deste período,
servindo de base para calculo dos juros desse período,
assim temos:
M=1100
x (1+0,10)=1000 x(1+0,10) x (1+0,10)
M=1000
x (1+0,10)2à M =1210
Final
do 3° mês: O montante do período anterior (1210) é o capital deste período,
servindo de base para calculo dos juros deste período, assim temos:
M=1210
x (1+0,10)=1000 x(1+0,10) x (1+0,10) x (1+0,10)
M=1000
x (1+0,10)3à M =1331
Final
do Enésimo mês: aplicando-se a evolução de juros compostos exposta para cada um
dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:
M=1000x(1+0,1)x(1+0,1)x(1+0,1)...
x(1+0,1)
Neste
caso, M=1000x(1+0,1)t
Generalizando-se
TEMOS:
M=C(1+i)tC=
Juros
(J): J=M-C
Como:
M=C(1+i)t, coloca-se o Capital em evidência temos:
J=C.[(1+i)t -1]
Exemplo
01: Qual o valor de resgate de uma aplicação
de R$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5%a.m.?
Solução:
M=?????
C=12000
t = 8 meses
i = 3,5%a.m.
M=C(1+i)t à
M=12000x(1+0,035)8
M=12000x1,316809 = R$ 15.801,71
EXEMPLO 02: Se uma pessoa
deseja obter R$27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje
numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
M=27500
C=?????
i
= 1,7% a.m.
t
= 1ano = 12 meses.
C=à
C=àC=
C=è
C= 22.463,70
EXEMPLO 03:Determinar a
taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$40.000,00 que produz um
montante de R$43.894,63
ao final de um quadrimestre.
M=43894,63
C=40000
i = xxxx a.m.
t = 1quadrimestre = 4 meses.
M=C(1+i)t
à= (1+i)t
= (1+i)4à
1,097366 = (1+i)4
= à=
1+i = 1,0235à i= 1,0235 – 1 à i= 0,0235
Multiplicando por 100 (porcentagem)
i= 2,35%a.m
EXEMPLO 04: Uma aplicação de
R$22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao
mês, um montante de R$26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da
operação. Log 1,208937=0,0824; Log 1,024 = 0,0103.
